目前計算晶体能帶結構的數值方法最常見的主要有: 平面波展開法，有限元素

目前計算晶体能帶結構的數值方法最常見的主要有: 平面波展開法，有限元素法，及時域有限差分法等，在本文將利用平面波展開法，計算晶體的色散曲線，找出其能隙所在。考慮一無源、線性、非損耗性()介質的Maxwell方程式如下：(1)(2)(3)(4)其中為電場強度，為磁場強度，為相對介電常數，、為真空中的介電常數和導磁係數。假設電場與磁場都是時間的諧和場，可令:(5)(6)將(5)及(6)式代入(1)、(2)式中，整理之後可得到磁場的赫姆霍茲方程式：(7)其中ω和c分別為光在真空中的角頻率及光速，為介電常數函數。根據布洛赫定理，在週期性排列結構中的電磁場可以用平面波展開如下：(8)其中為倒晶格向量，、2，為布洛赫波向量，為磁場沿著方向的係數，為兩個與相互垂直的單位向量。由於為一週期函數，所以可用傅立葉級數展開之：(9)(10)其中為單位晶格，V為單位晶格的體積。接著將(8)及(9)式代入(7)式，透過一些整理後可得到一特徵方程式如下：(11)由(11)式，可根據不同的值解出對應特徵值{ωn}及特徵向量。若只考慮二維的問題時，(11)式可分解為兩個特徵值方程式，分別對應於橫磁波和橫電波。一﹑橫磁波假設電磁波的傳播方向在x-y平面上，在TM模態下僅考慮、和三個場量，則(11)式可化簡如下：(12)二﹑橫電波在TE模態下，電場方向在x-y平面上，磁場在z方面上(、和)，(11)式可化簡如下：(13)若考慮一維的問題，k和G只有兩個方向，分別是+x與-x，此時可將分別取為，所以，特徵方程式可簡化為:(14)在此情況下，和都在y-z平面，所以TE mode和TM mode 的情況是一樣的。

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目前计算晶体能带结构的数值方法最常见的主要有:平面波展开法，有限元素法，及时域有限差分法等，在本文将利用平面波展开法，计算晶体的色散曲线，找出其能隙所在。 考虑一无源、线性、非损耗性()介质的Maxwell方程式如下： (1) (2) (3) (4) 其中为电场强度，为磁场强度，为相对介电常数，、为真空中的介电常数和导磁系数。 假设电场与磁场都是时间的谐和场，可令: (5) (6) 将(5)及(6)式代入(1)、(2)式中，整理之后可得到磁场的赫姆霍兹方程式： (7) 其中ω和c分别为光在真空中的角频率及光速，为介电常数函数。根据布洛赫定理，在周期性排列结构中的电磁场可以用平面波展开如下： (8) 其中为倒晶格向量，、2，为布洛赫波向量，为磁场沿着方向的系数，为两个与相互垂直的单位向量。 由于为一周期函数，所以可用傅立叶级数展开之： (9) (10) 其中为单位晶格，V为单位晶格的体积。 接着将(8)及(9)式代入(7)式，透过一些整理后可得到一特征方程式如下： (11) 由(11)式，可根据不同的值解出对应特征值{ωn}及特征向量。若只考虑二维的问题时，(11)式可分解为两个特征值方程式，分别对应于横磁波和横电波。 一﹑横磁波 假设电磁波的传播方向在xy平面上，在TM模态下仅考虑、和三个场量，则(11)式可化简如下： (12) 二﹑横电波 在TE模态下，电场方向在xy平面上，磁场在z方面上(、和)，(11)式可化简如下： (13) 若考虑一维的问题，k和G只有两个方向，分别是+x与-x，此时可将分别取为，所以，特征方程式可简化为: (14) 在此情况下，和都在yz平面，所以TE mode和TM mode的情况是一样的。

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目前计算晶体能带结构的数值方法最常见的主要有: 平面波展开法，有限元素法，及时域有限差分法等，在本文将利用平面波展开法，计算晶体的色散曲线，找出其能隙所在。 考虑一无源、线性、非损耗性()介质的Maxwell方程序如下： (1) (2) (3) (4) 其中为电场强度，为磁场强度，为相对介电常数，、为真空中的介电常数和导磁系数。 假设电场与磁场都是时间的谐和场，可令: (5) (6) 将(5)及(6)式代入(1)、(2)式中，整理之后可得到磁场的赫姆霍兹方程序： (7) 其中ω和c分别为光在真空中的角频率及光速，为介电常数函数。根据布洛赫定理，在周期性排列结构中的电磁场可以用平面波展开如下： (8) 其中为倒晶格向量，、2，为布洛赫波向量，为磁场沿着方向的系数，为两个与相互垂直的单位向量。 由于为一周期函数，所以可用傅立叶级数展开之： (9) (10) 其中为单位晶格，V为单位晶格的体积。 接着将(8)及(9)式代入(7)式，透过一些整理后可得到一特征方程序如下： (11) 由(11)式，可根据不同的值解出对应特征值{ωn}及特征向量。若只考虑二维的问题时，(11)式可分解为两个特征值方程序，分别对应于横磁波和横电波。 一﹑横磁波 假设电磁波的传播方向在x-y平面上，在TM模态下仅考虑、和三个场量，则(11)式可化简如下： (12) 二﹑横电波 在TE模态下，电场方向在x-y平面上，磁场在z方面上(、和)，(11)式可化简如下： (13) 若考虑一维的问题，k和G只有两个方向，分别是+x与-x，此时可将分别取为，所以，特征方程序可简化为: (14) 在此情况下，和都在y-z平面，所以TE mode和TM mode 的情况是一样的。

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